与えられた式 $(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、この式を整理します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc = a^2b + a^2c + abc + b^2a + b^2c + abc + c^2a + c^2b$

ここで、式を$(a+b)(b+c)(c+a)$の形に変形できるか試みます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

したがって、

$(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$