問題7は、以下の条件を満たす整数 $a$ と実数 $b$ について、以下の問いに答える問題です。 * $a < \frac{2}{\sqrt{5}-1} < a+1$ * $a+b = \frac{2}{\sqrt{5}-1}$ (1) 整数 $a$ の値を求める。 (2) $a^2 + 2ab + 2b^2$ の値を求める。 問題8(1)は、絶対値に関する不等式 $|3x-1| > 5$ を解く問題です。

はい、承知しました。問題文を読み取り、解答を作成します。

1. 問題の内容

問題7は、以下の条件を満たす整数 $a$ と実数 $b$ について、以下の問いに答える問題です。

* $a < \frac{2}{\sqrt{5}-1} < a+1$

* $a+b = \frac{2}{\sqrt{5}-1}$

(1) 整数 $a$ の値を求める。

(2) $a^2 + 2ab + 2b^2$ の値を求める。

問題8(1)は、絶対値に関する不等式 $|3x-1| > 5$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

問題7

(1) まず、$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$ を計算します。分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}+1$ を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ を満たすので、$3 < \sqrt{5}+1 < 4$ となり、$\frac{3}{2} < \frac{\sqrt{5}+1}{2} < 2$ となります。

つまり、$1.5 < \frac{\sqrt{5}+1}{2} < 2$ なので、 $a < \frac{\sqrt{5}+1}{2} < a+1$ を満たす整数 $a$ は $1$ です。

よって、$a=1$

(2) 次に、$a^2 + 2ab + 2b^2$ の値を求めます。

$a+b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ より、$b = \frac{\sqrt{5}+1}{2} - a$ です。$a=1$ を代入すると、$b = \frac{\sqrt{5}+1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ となります。

$a^2 + 2ab + 2b^2 = (a+b)^2 + b^2$ に変形できます。

$a+b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ なので、$(a+b)^2 = (\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2 = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$b^2 = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$(a+b)^2 + b^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

問題8

(1) $|3x-1| > 5$ は、 $3x-1 > 5$ または $3x-1 < -5$ となります。

$3x-1 > 5$ の場合、$3x > 6$ より $x > 2$ です。

$3x-1 < -5$ の場合、$3x < -4$ より $x < -\frac{4}{3}$ です。

3. 最終的な答え

問題7

(1) $a = 1$

(2) $a^2 + 2ab + 2b^2 = 3$

問題8

(1) $x > 2$ または $x < -\frac{4}{3}$