与えられた分数式を、多項式と真分数式（分子の次数が分母の次数より小さい分数式）の和の形に変形する問題です。具体的には、以下の2つの式を変形します。 (1) $\frac{3x^2+4x-1}{x+2}$ (2) $\frac{-4x^3-2x^2+x-5}{x^2+x+1}$

1. 問題の内容

与えられた分数式を、多項式と真分数式（分子の次数が分母の次数より小さい分数式）の和の形に変形する問題です。具体的には、以下の2つの式を変形します。

(1) $\frac{3x^2+4x-1}{x+2}$

(2) $\frac{-4x^3-2x^2+x-5}{x^2+x+1}$

2. 解き方の手順

割り算を使って変形を行います。

(1) $\frac{3x^2+4x-1}{x+2}$ の場合：

多項式 $3x^2+4x-1$ を $x+2$ で割ります。

割り算を実行すると、商は $3x-2$、余りは $3$ となります。

したがって、

$3x^2 + 4x - 1 = (x+2)(3x-2) + 3$

よって、

$\frac{3x^2+4x-1}{x+2} = \frac{(x+2)(3x-2) + 3}{x+2} = 3x-2 + \frac{3}{x+2}$

(2) $\frac{-4x^3-2x^2+x-5}{x^2+x+1}$ の場合：

多項式 $-4x^3-2x^2+x-5$ を $x^2+x+1$ で割ります。

割り算を実行すると、商は $-4x+2$、余りは $-x-7$ となります。

したがって、

$-4x^3 - 2x^2 + x - 5 = (x^2+x+1)(-4x+2) + (-x-7)$

よって、

$\frac{-4x^3-2x^2+x-5}{x^2+x+1} = \frac{(x^2+x+1)(-4x+2) + (-x-7)}{x^2+x+1} = -4x+2 + \frac{-x-7}{x^2+x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3x^2+4x-1}{x+2} = 3x-2 + \frac{3}{x+2}$

(2) $\frac{-4x^3-2x^2+x-5}{x^2+x+1} = -4x+2 + \frac{-x-7}{x^2+x+1}$