次の式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{28-12\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{28-12\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ を簡単にします。

まず、$7+4\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$

$a+b = 7$

$2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3} \implies \sqrt{ab} = 2\sqrt{3} \implies ab = 12$

$a+b = 7$ かつ $ab = 12$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a=4$, $b=3$ が条件を満たします。

よって、

$7+4\sqrt{3} = 4+3+2\sqrt{4 \cdot 3} = (2+\sqrt{3})^2$

したがって、

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

(2)

$\sqrt{28-12\sqrt{5}}$ を簡単にします。

$28-12\sqrt{5}$ を $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$

$a+b = 28$

$-2\sqrt{ab} = -12\sqrt{5} \implies \sqrt{ab} = 6\sqrt{5} \implies ab = 36 \cdot 5 = 180$

$a+b = 28$ かつ $ab = 180$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a=18$, $b=10$ が条件を満たします。

よって、

$28-12\sqrt{5} = 18+10-2\sqrt{18 \cdot 10} = (3\sqrt{2}-\sqrt{10})^2$

したがって、

$\sqrt{28-12\sqrt{5}} = \sqrt{(3\sqrt{2}-\sqrt{10})^2} = |3\sqrt{2}-\sqrt{10}| = \sqrt{18}-\sqrt{10} = 3\sqrt{2}-\sqrt{10}$

または、$a+b = 28$ かつ $ab = 180$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a=20$, $b=8$ が条件を満たします。

よって、

$28-12\sqrt{5} = 20+8-2\sqrt{20 \cdot 8} = (2\sqrt{5}-2\sqrt{2})^2$

$\sqrt{28-12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-2\sqrt{2})^2} = |2\sqrt{5}-2\sqrt{2}| = 2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.

しかし、$-12\sqrt{5} = -2\sqrt{36 \cdot 5} = -2\sqrt{180}$なので、

$a+b=28, ab=180$より、$a=18, b=10$.

すると、$\sqrt{(3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{2}$, $\sqrt{(\sqrt{10})^2}=\sqrt{10}$.

$3\sqrt{2} = \sqrt{18} < \sqrt{20}$.

なので、$a > b$に注意すると、$28-12\sqrt{5} = (3\sqrt{2} - \sqrt{10})^2$.

ゆえに、 $\sqrt{28-12\sqrt{5}} = 3\sqrt{2} - \sqrt{10}$.

または、$2\sqrt{5}>2\sqrt{2}$. $28-12\sqrt{5} = (2\sqrt{5}-2\sqrt{2})^2$.

ゆえに、$\sqrt{28-12\sqrt{5}} = |2\sqrt{5}-2\sqrt{2}|=2\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $2+\sqrt{3}$

(2) $2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$