問題は二つあります。 一つ目は $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化することです。 二つ目は $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

一つ目は $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化することです。

二つ目は $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

一つ目の問題から解きます。

分母を有理化するため、$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{3 - 5} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2} = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

二つ目の問題を解きます。

各項の分母を有理化します。一般に $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$ が成り立ちます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{7}}{2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

これらを足し合わせます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + 3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

一つ目の答え： $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

二つ目の答え： $1$