(1) x軸について対称移動する一次変換を表す行列 $P_x \in M(2, \mathbb{R})$ を求める。 (2) x軸についての対称移動と原点を中心とした$\theta$回転との合成を利用して、直線 $y = (\tan \theta) x$ についての対称移動を表す行列 $A \in M(2, \mathbb{R})$ を求める。

1. 問題の内容

(1) x軸について対称移動する一次変換を表す行列 $P_x \in M(2, \mathbb{R})$ を求める。

(2) x軸についての対称移動と原点を中心とした$\theta$回転との合成を利用して、直線 $y = (\tan \theta) x$ についての対称移動を表す行列 $A \in M(2, \mathbb{R})$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) x軸に関する対称移動は、点 $(x, y)$ を $(x, -y)$ に写す変換である。この変換を表す行列 $P_x$ は、

$P_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

である。

(2) まず、直線 $y = (\tan \theta) x$ に関する対称移動を、座標変換によってx軸に関する対称移動に帰着させることを考える。 具体的には、

(a) 原点を中心に $-\theta$ 回転する。

(b) x軸に関する対称移動を行う。

(c) 原点を中心に $\theta$ 回転する。

という手順で、直線 $y = (\tan \theta) x$ に関する対称移動を行うことができる。

原点を中心とする$\theta$回転を表す行列を$R_\theta$とすると、

$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

である。

したがって、原点を中心に $-\theta$ 回転する変換を表す行列は、

$R_{-\theta} = \begin{pmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

である。

直線 $y = (\tan \theta) x$ についての対称移動を表す行列 $A$ は、上記の(a), (b), (c)の手順で行列を合成することで得られる。すなわち、

$A = R_{\theta} P_x R_{-\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

である。

行列の積を計算すると、

$A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & 2 \cos \theta \sin \theta \\ 2 \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$

となる。

3. 最終的な答え

(1) x軸について対称移動する一次変換を表す行列 $P_x$ は、

$P_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) 直線 $y = (\tan \theta) x$ についての対称移動を表す行列 $A$ は、

$A = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$