$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta - \cos \theta$ および $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ の動径は第4象限にある。

1. 問題の内容

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta - \cos \theta$ および $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ の動径は第4象限にある。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求める。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算する。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \left( -\frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\sin \theta < 0$ であり、$\cos \theta > 0$ である。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta < 0$ となるので、$\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求める。

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta) (\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = (\sin \theta - \cos \theta) (1 + \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ および $\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{4}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3\sqrt{6}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

(2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = -\frac{3\sqrt{6}}{8}$