$x$ が指定された範囲にあるとき、$\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1}$ を簡単にせよ。 (1) $x>2$ (2) $-1<x<2$

1. 問題の内容

$x$ が指定された範囲にあるとき、$\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1}$ を簡単にせよ。

(1) $x>2$

(2) $-1<x<2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1} = \sqrt{(x-2)^2} - \sqrt{(x+1)^2}$

次に、絶対値の定義に従って根号を外します。

$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$

$\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$

したがって、与えられた式は

$|x-2| - |x+1|$

(1) $x > 2$ の場合、

$x - 2 > 0$ なので $|x-2| = x-2$

$x + 1 > 0$ なので $|x+1| = x+1$

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (x-2) - (x+1) = x-2-x-1 = -3$

(2) $-1 < x < 2$ の場合、

$x - 2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$x + 1 > 0$ なので $|x+1| = x+1$

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (-x+2) - (x+1) = -x+2-x-1 = -2x+1$

3. 最終的な答え

(1) $x>2$ のとき、 $-3$

(2) $-1<x<2$ のとき、 $-2x+1$