(3) $(a+b)(2+a)(2+b) + 2ab$ を因数分解する。 (4) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

(3) $(a+b)(2+a)(2+b) + 2ab$ を因数分解する。

(4) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$(a+b)(2+a)(2+b)$ を展開する。

$(a+b)(2+a)(2+b) = (a+b)(4 + 2a + 2b + ab) = 4a + 2a^2 + 2ab + a^2b + 4b + 2ab + 2b^2 + ab^2$

$= 2a^2 + 2b^2 + a^2b + ab^2 + 4a + 4b + 4ab$

これに $2ab$ を加えると、

$2a^2 + 2b^2 + a^2b + ab^2 + 4a + 4b + 6ab$

$= 2(a^2 + b^2) + ab(a+b) + 4(a+b) + 6ab$

$= 2(a^2+2ab+b^2) + ab(a+b) + 4(a+b) + 2ab -4ab$

$= 2(a+b)^2 + ab(a+b) + 4(a+b)$.

したがって、

$(a+b)(2+a)(2+b) + 2ab = 2a^2 + 2b^2 + a^2b + ab^2 + 4a + 4b + 6ab = (a+b)(2a+2b+ab+4) +2ab$.

ここで、$2a^2 + 2b^2 + a^2b + ab^2 + 4a + 4b + 6ab = (a+b)(2a + 2b + ab + 4 +2ab)$.

式を変形する。

$(a+b)(2+a)(2+b) + 2ab = (a+b)(4+2a+2b+ab)+2ab= 4a+2a^2+2ab+a^2b+4b+2ab+2b^2+ab^2+2ab= 2a^2+2b^2+a^2b+ab^2+4a+4b+6ab$

$=2(a^2+b^2+3ab+2a+2b) + a^2b + ab^2 = (a+2)(b+2)(a+b)$ と推測する。

$(a+2)(b+2)(a+b) = (ab+2a+2b+4)(a+b) = a^2b + ab^2 + 2a^2 + 2ab + 2ab + 2b^2 + 4a + 4b = a^2b + ab^2 + 2a^2 + 2b^2 + 4ab + 4a + 4b$.

したがって、

$(a+b)(2+a)(2+b) + 2ab = (a+2)(a+b)(b+2)$.

(4)

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$= a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2$

$= a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(3) $(a+2)(b+2)(a+b)$

(4) $-(a-b)(b-c)(c-a)$