問題は以下の2つです。 (1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。 (2) 上記の結果を用いて $8x^3+27y^3+18xy-1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

(2) 上記の結果を用いて $8x^3+27y^3+18xy-1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) の展開を行います。

\begin{align*}

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) &= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&+ b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&+ c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&= a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2 \\

&+ a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc \\

&+ a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-c^2a \\

&= a^3+b^3+c^3 - 3abc

\end{align*}

したがって、

$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc$$

(2) の因数分解を行います。

$8x^3+27y^3+18xy-1$ を $a^3+b^3+c^3-3abc$ の形に無理やり変形します。

$8x^3 = (2x)^3$, $27y^3 = (3y)^3$, $-1 = (-1)^3$ と考えると、$a = 2x$, $b = 3y$, $c = -1$ となります。

このとき、

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (2x)^3 + (3y)^3 + (-1)^3 - 3(2x)(3y)(-1) = 8x^3 + 27y^3 - 1 + 18xy$$

と与式が一致します。

よって、

\begin{align*}

8x^3+27y^3+18xy-1 &= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \\

&= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\

&= (2x+3y-1)((2x)^2+(3y)^2+(-1)^2-(2x)(3y)-(3y)(-1)-(-1)(2x)) \\

&= (2x+3y-1)(4x^2+9y^2+1-6xy+3y+2x) \\

&= (2x+3y-1)(4x^2+9y^2-6xy+2x+3y+1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc$

(2) $8x^3+27y^3+18xy-1 = (2x+3y-1)(4x^2+9y^2-6xy+2x+3y+1)$