連続する3つの奇数がある。最も小さい数と真ん中の数の積は、真ん中の数と最も大きい数の積より108小さい。この3つの奇数の和の3倍の数を求めよ。

1. 問題の内容

連続する3つの奇数がある。最も小さい数と真ん中の数の積は、真ん中の数と最も大きい数の積より108小さい。この3つの奇数の和の3倍の数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連続する3つの奇数を $2n-1$, $2n+1$, $2n+3$ とおく。

次に、問題文の条件を式で表す。

$(2n-1)(2n+1) = (2n+1)(2n+3) - 108$

左辺を展開すると $4n^2 - 1$ となる。

右辺を展開すると $4n^2 + 8n + 3 - 108 = 4n^2 + 8n - 105$ となる。

したがって、

$4n^2 - 1 = 4n^2 + 8n - 105$

$4n^2$ を両辺から引くと

$-1 = 8n - 105$

$8n = 104$

$n = 13$

連続する3つの奇数は $2n-1 = 2(13)-1 = 25$, $2n+1 = 2(13)+1 = 27$, $2n+3 = 2(13)+3 = 29$ である。

これらの奇数の和は $25 + 27 + 29 = 81$ である。

この和の3倍は $81 \times 3 = 243$ である。

3. 最終的な答え

243