与えられた二次方程式 $(\sqrt{3}-1)x^2 + 2x + (\sqrt{3}+1) = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式 $(\sqrt{3}-1)x^2 + 2x + (\sqrt{3}+1) = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。

この問題では、$a = \sqrt{3}-1$, $b = 2$, $c = \sqrt{3}+1$ です。

まず、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$D = 2^2 - 4(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = 4 - 4(3-1) = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4$

判別式が負の値なので、解は虚数になります。

解の公式に代入して、$x$ を求めます。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{-2 \pm 2i}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{-1 \pm i}{\sqrt{3}-1}$

次に、分母を実数化するために、分子と分母に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。

$x = \frac{(-1 \pm i)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{-\sqrt{3}-1 \pm i\sqrt{3} \pm i}{3-1} = \frac{-\sqrt{3}-1 \pm i(\sqrt{3}+1)}{2}$

$x = \frac{-\sqrt{3}-1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$

3. 最終的な答え

$x = \frac{-\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$ または $x = \frac{-\sqrt{3}-1}{2} - \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$