与えられた二つの式を因数分解する問題です。 (1) $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ (2) $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。

(1) $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$

(2) $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc$

2. 解き方の手順

(1) $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc$ を因数分解します。

まず、展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

この式を整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

$a$について整理すると、

$a^2(b+c)+a(b^2+2bc+c^2)+bc(b+c)$

$a^2(b+c)+a(b+c)^2+bc(b+c)$

$(b+c)(a^2+a(b+c)+bc)$

$(b+c)(a^2+ab+ac+bc)$

$(b+c)(a(a+b)+c(a+b))$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc$ を因数分解します。

まず、展開します。

$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3abc$

$a$について整理すると、

$a^2(b+c)+a(b^2+c^2+3bc)+b^2c+c^2b$

$a^2(b+c)+a(b^2+c^2+3bc)+bc(b+c)$

$a^2(b+c)+ab^2+ac^2+3abc+bc(b+c)$

$a^2(b+c)+ab^2+abc+abc+ac^2+abc+bc(b+c)$

$a^2(b+c)+ab(b+c)+ac(c+b)+bc(b+c)$

$(b+c)(a^2+ab+ac+bc)$

$(b+c)(a(a+b)+c(a+b))$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$