与えられた漸化式と数列の初期値から、$a_n$の一般項を求める問題です。 具体的には、$a_1 = \frac{1}{7}$と$a_{n+1} = \frac{a_n - 2}{a_n + 4}$が与えられており、$l_n = \frac{a_n + 2}{a_{n+1}}$という数列を導入して、$l_n = \frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n$となることを利用し、$a_n$の一般項を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた漸化式と数列の初期値から、$a_n$の一般項を求める問題です。

具体的には、$a_1 = \frac{1}{7}$と$a_{n+1} = \frac{a_n - 2}{a_n + 4}$が与えられており、$l_n = \frac{a_n + 2}{a_{n+1}}$という数列を導入して、$l_n = \frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n$となることを利用し、$a_n$の一般項を求める必要があります。

2. 解き方の手順

問題文に書かれている通り、数列${l_n}$を利用して解いていきます。

$l_n = \frac{a_n + 2}{a_{n+1}+1}$

$a_{n+1}=\frac{a_n-2}{a_n+4}$を代入する

$l_n = \frac{a_n+2}{\frac{a_n-2}{a_n+4}+1} = \frac{(a_n+2)(a_n+4)}{a_n-2+a_n+4}=\frac{(a_n+2)(a_n+4)}{2a_n+2} = \frac{(a_n+2)(a_n+4)}{2(a_n+1)}$

また$l_n=\frac{a_n+2}{a_{n+1}+1}$ではなく、$l_n=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}$を使います。問題文に$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n$ が与えられています。$l_n = \frac{a_n + 2}{a_{n+1}}$ を利用します。

つまり、$l_n = \frac{5}{4} (\frac{3}{2})^n$

与えられた漸化式を変形します。

$a_{n+1} = \frac{a_n - 2}{a_n + 4}$

$l_n = \frac{a_n + 2}{a_{n+1}}$だから、$a_{n+1} = \frac{a_n+2}{l_n}$ となります。

$\frac{a_n - 2}{a_n + 4} = \frac{a_n+2}{l_n}$

$l_n = \frac{(a_n+2)(a_n+4)}{a_n-2}$

$l_n = \frac{5}{4} (\frac{3}{2})^n$なので、$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{5}{4}(\frac{3}{2})^n$を使い、$a_n$について解きます。しかし問題文の情報からこれ以上$a_n$について解くことは難しいです。

3. 最終的な答え

与えられた情報からは、$a_n$ の一般項を具体的に求めることは困難です。

最終的な答え：与えられた情報からは、$a_n$の一般項を求めることは困難。