次の等比数列の初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。 (1) 初項 3, 公比 2 (2) 初項 1, 公比 $\frac{1}{2}$

1. 問題の内容

次の等比数列の初項から第$n$項までの和 $S_n$ を求めます。

(1) 初項 3, 公比 2

(2) 初項 1, 公比 $\frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。初項を $a$, 公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は以下のようになります。

$r \neq 1$ のとき:

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$r = 1$ のとき:

$S_n = na$

(1) 初項 $a = 3$, 公比 $r = 2$

$S_n = \frac{3(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 2^n)}{-1} = -3(1 - 2^n) = 3(2^n - 1)$

(2) 初項 $a = 1$, 公比 $r = \frac{1}{2}$

$S_n = \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - (\frac{1}{2})^n) = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 3(2^n - 1)$

(2) $S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$