与えられた等比数列の初項と公比から、一般項 $a_n$ を求め、さらに第5項 $a_5$ を求める問題です。以下の4つの数列について計算します。 (1) 初項 2, 公比 3 (2) 初項 1, 公比 -3 (3) 初項 2, 公比 2 (4) 初項 -3, 公比 1/2

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項と公比から、一般項 $a_n$ を求め、さらに第5項 $a_5$ を求める問題です。以下の4つの数列について計算します。

(1) 初項 2, 公比 3

(2) 初項 1, 公比 -3

(3) 初項 2, 公比 2

(4) 初項 -3, 公比 1/2

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、以下の式で表されます。

$a_n = a r^{n-1}$

各数列について、この式に初項と公比の値を代入して一般項を求めます。

次に、一般項の式に $n=5$ を代入して、第5項を求めます。

(1) 初項 2, 公比 3

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$

(2) 初項 1, 公比 -3

$a_n = 1 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^{n-1}$

$a_5 = (-3)^{5-1} = (-3)^4 = 81$

(3) 初項 2, 公比 2

$a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_5 = 2^5 = 32$

(4) 初項 -3, 公比 1/2

$a_n = -3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_5 = -3 \cdot (\frac{1}{2})^{5-1} = -3 \cdot (\frac{1}{2})^4 = -3 \cdot \frac{1}{16} = -\frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$, 第5項: 162

(2) 一般項: $a_n = (-3)^{n-1}$, 第5項: 81

(3) 一般項: $a_n = 2^n$, 第5項: 32

(4) 一般項: $a_n = -3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$, 第5項: $-\frac{3}{16}$