次の式の値を求めます。 (1) $\cos^6\theta + \sin^6\theta + 3\cos^2\theta\sin^2\theta$

## 問題1

1. 問題の内容

次の式の値を求めます。

(1) $\cos^6\theta + \sin^6\theta + 3\cos^2\theta\sin^2\theta$

2. 解き方の手順

$\cos^6\theta + \sin^6\theta$ を $(\cos^2\theta)^3 + (\sin^2\theta)^3$ と考え、和の3乗の因数分解の公式

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$を利用します。

$a = \cos^2\theta$、 $b = \sin^2\theta$ とすると、

$(\cos^2\theta)^3 + (\sin^2\theta)^3 = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)((\cos^2\theta)^2 - \cos^2\theta\sin^2\theta + (\sin^2\theta)^2)$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ なので、

$(\cos^2\theta)^3 + (\sin^2\theta)^3 = \cos^4\theta - \cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta$

したがって、与式は

$\cos^4\theta - \cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta + 3\cos^2\theta\sin^2\theta = \cos^4\theta + 2\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta$

これは $(\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2$ と変形できます。

$(\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 = 1^2 = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題2

1. 問題の内容

次の式の値を求めます。

(2) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) - \cos(\theta - \frac{\pi}{2})\cos(\theta + \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$

$\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos\theta$

$\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$

$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta$

これらの関係式を用いると、与式は

$\cos\theta \cos\theta - \sin\theta(-\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

3. 最終的な答え

1