2次方程式 $x^2 + mx + 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $\alpha-3, \beta-3$ を解とする2次方程式を1つ求めます。 (2) $\alpha, \beta$ がともに3より小さくなるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + mx + 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $\alpha-3, \beta-3$ を解とする2次方程式を1つ求めます。

(2) $\alpha, \beta$ がともに3より小さくなるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha - 3$と$\beta - 3$を解とする2次方程式を求める。

解と係数の関係から、$\alpha + \beta = -m$ かつ $\alpha \beta = 1$ である。

$\alpha - 3$ と $\beta - 3$ を解とする2次方程式は、

$(x - (\alpha - 3))(x - (\beta - 3)) = 0$

$x^2 - (\alpha - 3 + \beta - 3)x + (\alpha - 3)(\beta - 3) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta - 6)x + \alpha \beta - 3(\alpha + \beta) + 9 = 0$

$x^2 - (-m - 6)x + 1 - 3(-m) + 9 = 0$

$x^2 + (m + 6)x + 3m + 10 = 0$

これが求める2次方程式の一つである。

(2) $\alpha, \beta$ がともに3より小さくなるような $m$ の値の範囲を求める。

$\alpha < 3$ かつ $\beta < 3$ ということは、$\alpha - 3 < 0$ かつ $\beta - 3 < 0$ ということである。

$f(x) = x^2 + mx + 1$ とすると、

条件は

(i) $f(3) > 0$

(ii) 判別式 $D = m^2 - 4 \ge 0$

(iii) 軸 $x = -\frac{m}{2} < 3$

の3つである。

(i) $f(3) = 3^2 + 3m + 1 = 3m + 10 > 0$

$3m > -10$

$m > -\frac{10}{3}$

(ii) $m^2 - 4 \ge 0$

$(m - 2)(m + 2) \ge 0$

$m \le -2$ または $m \ge 2$

(iii) $-\frac{m}{2} < 3$

$-m < 6$

$m > -6$

(i), (ii), (iii) を満たす $m$ の範囲を求める。

$-\frac{10}{3} < m \le -2$ または $m \ge 2$

かつ $m > -6$

したがって、$-\frac{10}{3} < m \le -2$ または $m \ge 2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (m + 6)x + 3m + 10 = 0$

(2) $-\frac{10}{3} < m \le -2$ または $m \ge 2$