与えられた複素数の割り算 $\frac{3+i}{1+2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す。

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算 $\frac{3+i}{1+2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の共役複素数を分母と分子の両方に掛けます。

分母 $1+2i$ の共役複素数は $1-2i$ です。

したがって、$1-2i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分子を計算します：

$(3+i)(1-2i) = 3 - 6i + i - 2i^2 = 3 - 5i - 2(-1) = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i$

分母を計算します：

$(1+2i)(1-2i) = 1 - 2i + 2i - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{5-5i}{5} = \frac{5}{5} - \frac{5}{5}i = 1 - i$

3. 最終的な答え

$1 - i$