整式 $A$ を $x^2 - x + 1$ で割ると、商が $x - 2$、余りが $3x - 2$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $x^2 - x + 1$ で割ると、商が $x - 2$、余りが $3x - 2$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割られる数 = 割る数 × 商 + 余りの関係を用いる。

つまり、$A = (x^2 - x + 1)(x - 2) + (3x - 2)$ を計算する。

まず、$(x^2 - x + 1)(x - 2)$ を展開する。

$(x^2 - x + 1)(x - 2) = x^2(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2)$

$= x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x + x - 2$

$= x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

次に、余りの $3x - 2$ を足す。

$A = (x^3 - 3x^2 + 3x - 2) + (3x - 2)$

$A = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 + 3x - 2$

$A = x^3 - 3x^2 + 6x - 4$

3. 最終的な答え

$A = x^3 - 3x^2 + 6x - 4$