与えられた2次式 $x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、定数項である $(2y-1)(3y+2)$ を展開します。

$(2y-1)(3y+2) = 6y^2 + 4y - 3y - 2 = 6y^2 + y - 2$

次に、与えられた式を書き換えます。

$x^2 + (5y+1)x + (6y^2 + y - 2)$

この式を因数分解することを考えます。

$x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2)$の形から、

$(x+a)(x+b)$ と因数分解できると仮定すると、

$a+b = 5y+1$

$ab = (2y-1)(3y+2)$

となる $a, b$ を見つければ良いことになります。

$ab = (2y-1)(3y+2)$より、$a$と$b$はそれぞれ、$2y-1$と$3y+2$であると予想できます。

$a = 2y-1, b = 3y+2$とおくと、

$a+b = (2y-1) + (3y+2) = 5y+1$

となり、確かに$a+b = 5y+1$を満たしています。

よって、

$x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2) = (x+2y-1)(x+3y+2)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+2y-1)(x+3y+2)$