実数 $a, b$ に対して、条件 $p$ が条件 $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを判定する問題です。 (1) $p: a=4$ かつ $b=6$, $q: a+b=10$ (2) $p: a+b>0$, $q: a>0$ かつ $b>0$ (3) $p: a>0$ かつ $b>0$, $q: ab>0$ (4) $p: |a|=a$, $q: a \ge 0$ (5) $p: \triangle ABC$ が正三角形, $q: AB=AC$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に対して、条件 $p$ が条件 $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを判定する問題です。

(1) $p: a=4$ かつ $b=6$, $q: a+b=10$

(2) $p: a+b>0$, $q: a>0$ かつ $b>0$

(3) $p: a>0$ かつ $b>0$, $q: ab>0$

(4) $p: |a|=a$, $q: a \ge 0$

(5) $p: \triangle ABC$ が正三角形, $q: AB=AC$

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、条件 $p$ から条件 $q$ が導かれるか($p \Rightarrow q$)、条件 $q$ から条件 $p$ が導かれるか($q \Rightarrow p$)を検討します。

(1)

$p \Rightarrow q$: $a=4$ かつ $b=6$ ならば $a+b=4+6=10$ なので、$p \Rightarrow q$ は真です。

$q \Rightarrow p$: $a+b=10$ でも、$a=5, b=5$ など、$a=4, b=6$ 以外の例があるので、$q \Rightarrow p$ は偽です。

よって、$p$ は $q$ であるための十分条件です。

(2)

$p \Rightarrow q$: $a+b>0$ でも、$a=1, b=-0.5$ のように、$a>0$ かつ $b>0$ とは限らないので、$p \Rightarrow q$ は偽です。

$q \Rightarrow p$: $a>0$ かつ $b>0$ ならば $a+b>0$ なので、$q \Rightarrow p$ は真です。

よって、$p$ は $q$ であるための必要条件です。

(3)

$p \Rightarrow q$: $a>0$ かつ $b>0$ ならば $ab>0$ なので、$p \Rightarrow q$ は真です。

$q \Rightarrow p$: $ab>0$ でも、$a=-1, b=-2$ のように、$a>0$ かつ $b>0$ とは限らないので、$q \Rightarrow p$ は偽です。

よって、$p$ は $q$ であるための十分条件です。

(4)

$p \Rightarrow q$: $|a|=a$ ならば $a \ge 0$ なので、$p \Rightarrow q$ は真です。

$q \Rightarrow p$: $a \ge 0$ ならば $|a|=a$ なので、$q \Rightarrow p$ は真です。

よって、$p$ は $q$ であるための必要十分条件です。

(5)

$p \Rightarrow q$: $\triangle ABC$ が正三角形ならば $AB=AC$ なので、$p \Rightarrow q$ は真です。

$q \Rightarrow p$: $AB=AC$ でも、$\triangle ABC$ は二等辺三角形であり、正三角形とは限らないので、$q \Rightarrow p$ は偽です。

よって、$p$ は $q$ であるための十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要条件

(3) 十分条件

(4) 必要十分条件

(5) 十分条件