数列 $\{a_n\}$ が与えられた条件を満たすとき、第5項 $a_5$ と第6項 $a_6$ を求める問題です。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = -2a_n + 4$ (2) $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{\pi}{4}$, $a_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} a_n$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた条件を満たすとき、第5項 $a_5$ と第6項 $a_6$ を求める問題です。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = -2a_n + 4$

(2) $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{\pi}{4}$, $a_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} a_n$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = -2a_n + 4$ を用いて、順に $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ を計算します。

$a_1 = 2$

$a_2 = -2a_1 + 4 = -2(2) + 4 = 0$

$a_3 = -2a_2 + 4 = -2(0) + 4 = 4$

$a_4 = -2a_3 + 4 = -2(4) + 4 = -4$

$a_5 = -2a_4 + 4 = -2(-4) + 4 = 12$

$a_6 = -2a_5 + 4 = -2(12) + 4 = -20$

(2)

漸化式 $a_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} a_n$ を用いて、$a_3, a_4, a_5, a_6$ を計算します。

$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{\pi}{4}$

$n=1$ のとき、$a_3 = \frac{1+1}{1+2} a_1 = \frac{2}{3} a_1 = \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}$

$n=2$ のとき、$a_4 = \frac{2+1}{2+2} a_2 = \frac{3}{4} a_2 = \frac{3}{4} (\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{16}$

$n=3$ のとき、$a_5 = \frac{3+1}{3+2} a_3 = \frac{4}{5} a_3 = \frac{4}{5} (\frac{2}{3}) = \frac{8}{15}$

$n=4$ のとき、$a_6 = \frac{4+1}{4+2} a_4 = \frac{5}{6} a_4 = \frac{5}{6} (\frac{3\pi}{16}) = \frac{15\pi}{96} = \frac{5\pi}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $a_5 = 12$, $a_6 = -20$

(2) $a_5 = \frac{8}{15}$, $a_6 = \frac{5\pi}{32}$