(1) 線形変換 $f$ によってベクトル $\mathbf{p}$, $\mathbf{q}$ がそれぞれベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ に移るとき、ベクトル $3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}$ の $f$ による像を求めよ。 (2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とする。このとき、$f$ の逆変換 $f^{-1}$ による直線 $2x + y = 6$ の像を求めよ。 (3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とする。このとき、線形変換 $f \circ f$ によって点 $(4, -2)$ に移る点の座標を求めよ。 (4) 線形変換による座標平面全体の像はどのような図形になるか考察せよ (証明をする必要はない)。

1. 問題の内容

(1) 線形変換 $f$ によってベクトル $\mathbf{p}$, $\mathbf{q}$ がそれぞれベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ に移るとき、ベクトル $3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}$ の $f$ による像を求めよ。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とする。このとき、$f$ の逆変換 $f^{-1}$ による直線 $2x + y = 6$ の像を求めよ。

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とする。このとき、線形変換 $f \circ f$ によって点 $(4, -2)$ に移る点の座標を求めよ。

(4) 線形変換による座標平面全体の像はどのような図形になるか考察せよ (証明をする必要はない)。

2. 解き方の手順

(1) 線形変換の性質より、$f(a\mathbf{v} + b\mathbf{w}) = af(\mathbf{v}) + bf(\mathbf{w})$ が成り立つ。

したがって、

$$$$

f(3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}) = 3f(\mathbf{p}) + 2f(\mathbf{q}) = 3\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}

$$$$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$$$$

A^{-1} = \frac{1}{(2)(3) - (1)(5)}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6-5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

$$$$

直線 $2x + y = 6$ 上の点 $(x, y)$ を $f^{-1}$ で変換した点を $(x', y')$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x - y \\ -5x + 2y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 3x - y$, $y' = -5x + 2y$。これから $x$ と $y$ を $x', y'$ で表す。

$2x + y = 6$ より $y = 6 - 2x$ なので、

$x' = 3x - (6 - 2x) = 5x - 6$

$x = \frac{x' + 6}{5}$

$y' = -5x + 2(6 - 2x) = -5x + 12 - 4x = -9x + 12$

$y' = -9(\frac{x' + 6}{5}) + 12 = -\frac{9}{5}x' - \frac{54}{5} + \frac{60}{5} = -\frac{9}{5}x' + \frac{6}{5}$

$5y' = -9x' + 6$

$9x' + 5y' = 6$

(3) $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 4-12 \\ -1+3 & -4+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -8 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

求める点の座標を $(x, y)$ とすると、

$\begin{pmatrix} -3 & -8 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

$-3x - 8y = 4$

$2x + 5y = -2$

$-6x - 16y = 8$

$6x + 15y = -6$

$-y = 2$

$y = -2$

$2x + 5(-2) = -2$

$2x - 10 = -2$

$2x = 8$

$x = 4$

よって求める点の座標は $(4, -2)$.

(4) $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

$\det(A) = (1)(-3) - (4)(-1) = -3 + 4 = 1 \ne 0$. 従って線形変換によって座標平面全体は平面になる.

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}$

(2) $9x + 5y = 6$

(3) $(4, -2)$

(4) 平面