与えられた多項式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式と見て、因数分解できるか試みます。

$x^2 - 3xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y)$

与式全体を因数分解すると、

$x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12 = (x - y)(x - 2y) - x + 5y - 12$

ここで、$(x - y + a)(x - 2y + b)$ の形になることを仮定して展開すると、

$(x - y + a)(x - 2y + b) = x^2 - 2xy + bx - xy + 2y^2 - by + ax - 2ay + ab$

$= x^2 - 3xy + 2y^2 + (a + b)x + (-2a - b)y + ab$

与式と係数を比較すると、

$a + b = -1$

$-2a - b = 5$

$ab = -12$

この連立方程式を解きます。

第2式から第1式を引くと、

$(-2a - b) - (a + b) = 5 - (-1)$

$-3a = 6$

$a = -2$

$a = -2$ を $a + b = -1$ に代入すると、

$-2 + b = -1$

$b = 1$

$ab = (-2)(1) = -2$ となり、$ab = -12$ に一致しません。

別の方法を試します。

$x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ を $y$ について整理します。

$2y^2 + (-3x + 5)y + (x^2 - x - 12)$

$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$

全体として $(x - y + a)(x - 2y + b)$ という形になると推測しましたが、うまくいかなかったため、与えられた式が因数分解できるかどうかの確認からやり直します。

定数項 $-12$ に注目すると、因数分解ができるなら、整数の組み合わせになるはずです。

もし $x = 0, y = 0$ なら $-12$ となり、$(x + ay + b)(x + cy + d)$ という形で因数分解できるとすると、$bd = -12$ となります。

$(x - 4)(x + 3) = x^2 - x - 12$ より、$x^2 - x - 12$ の部分は因数分解できます。

$(x - y + 3)(x - 2y - 4) = x^2 - 2xy - 4x - xy + 2y^2 + 4y + 3x - 6y - 12$

$= x^2 - 3xy + 2y^2 - x - 2y - 12$

符号が異なっているので、

$(x - y - 3)(x - 2y + 4) = x^2 - 2xy + 4x - xy + 2y^2 - 4y - 3x + 6y - 12$

$= x^2 - 3xy + 2y^2 + x + 2y - 12$

$(x - 2y + 3)(x - y - 4) = x^2 - xy - 4x - 2xy + 2y^2 + 8y + 3x - 3y - 12$

$= x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$

3. 最終的な答え

$(x - 2y + 3)(x - y - 4)$