$a=b$ という等式を変形していった結果、$1=2$ という誤った結論に達してしまった。この変形過程 $①$ から $⑥$ のうち、誤っている箇所を全て特定し、その理由を説明する。ただし、$a$ と $b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。

1. 問題の内容

$a=b$ という等式を変形していった結果、$1=2$ という誤った結論に達してしまった。この変形過程 $①$ から $⑥$ のうち、誤っている箇所を全て特定し、その理由を説明する。ただし、$a$ と $b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。

2. 解き方の手順

* $①$: $a=b$ の両辺に $b$ を掛けると $ab = b^2$。これは正しい。

* $②$: $ab = b^2$ の両辺から $a^2$ を引くと $ab - a^2 = b^2 - a^2$。これは正しい。

* $③$: $ab - a^2$ を $a(b-a)$、$b^2 - a^2$ を $(b+a)(b-a)$ と因数分解すると、$a(b-a) = (b+a)(b-a)$。これは正しい。

* $④$: $a(b-a) = (b+a)(b-a)$ の両辺を $(b-a)$ で割ると $a = b+a$ となる。 ここが誤り。問題文より、$a=b$であるので、$b-a=0$である。したがって、0で割ることはできないため、この変形は誤り。

* $⑤$: $a = b + a$ の両辺から $a$ を引くと $0 = b$。しかし、問題文の条件で $b \neq 0$ とされているので、$a=b+a$は誤った式である。もしくは、$a = b + a$ で、$a=b$であるので、$a = a + a$となり、$a=2a$となるので⑤は正しい。

* $⑥$: $a = 2a$ の両辺を $a$ で割ると $1 = 2$。 ここも誤り。$a = 2a$から$0=a$となるが、問題文の条件で $a \neq 0$ が与えられているので、$a$で割ることはできない。よって、$1=2$も誤り。また$a = 2a$ の両辺を $a$ で割るのではなく、$a=2a$より、$0=a$となり、$a \neq 0$に矛盾する。

3. 最終的な答え

誤っている変形は $④$ と $⑥$ 。

$④$ は、$b-a=0$であるため、0で割ることができない。

$⑥$ は、$a \neq 0$ であるにもかかわらず、 $a=2a$ より、$0=a$となり矛盾が生じる。