$\alpha^4 + \beta^4$ を計算する問題です。ただし、$\alpha$ と $\beta$ が具体的にどのような値であるか、またはどのような関係にあるかは問題文からは不明です。ここでは一般的に解けるように、$(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて式変形することを目標とします。

1. 問題の内容

$\alpha^4 + \beta^4$ を計算する問題です。ただし、$\alpha$ と $\beta$ が具体的にどのような値であるか、またはどのような関係にあるかは問題文からは不明です。ここでは一般的に解けるように、$(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて式変形することを目標とします。

2. 解き方の手順

まず、$(\alpha^2 + \beta^2)$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ で表します。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

次に、$(\alpha^4 + \beta^4)$ を $(\alpha^2 + \beta^2)$ で表します。

$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = \alpha^4 + 2\alpha^2\beta^2 + \beta^4$

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2\alpha^2\beta^2$

$\alpha^4 + \beta^4 = ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta)^2 - 2(\alpha\beta)^2$

ここで、$\alpha + \beta = A$ 、$\alpha\beta = B$ と置くと、

$\alpha^4 + \beta^4 = (A^2 - 2B)^2 - 2B^2$

$\alpha^4 + \beta^4 = A^4 - 4A^2B + 4B^2 - 2B^2$

$\alpha^4 + \beta^4 = A^4 - 4A^2B + 2B^2$

元の変数に戻すと、

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha + \beta)^4 - 4(\alpha + \beta)^2(\alpha\beta) + 2(\alpha\beta)^2$

3. 最終的な答え

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha + \beta)^4 - 4(\alpha + \beta)^2(\alpha\beta) + 2(\alpha\beta)^2$