与えられた式 $2x^2 + xy - 6y^2 + 5x - 4y + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - 6y^2 + 5x - 4y + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理すると、

$2x^2 + (y+5)x + (-6y^2 - 4y + 2)$

となる。

次に、$-6y^2 - 4y + 2$ を因数分解すると、

$-2(3y^2 + 2y - 1) = -2(3y - 1)(y + 1)$

となる。

したがって、与えられた式は

$2x^2 + (y+5)x - 2(3y - 1)(y + 1)$

となる。

ここで、与えられた式が$(2x+ay+b)(x+cy+d)$の形に因数分解できると仮定する。

$(2x+ay+b)(x+cy+d) = 2x^2 + (2c+a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると、

$2c+a = 1$

$ac = -6$

$2d+b = 5$

$ad+bc = -4$

$bd = 2$

上記の式を満たすように係数を決定する。

$a=3, c=-2$を試すと、$2c+a = 2(-2) + 3 = -4+3=-1$となり、うまくいかない。

$a=-3, c=2$を試すと、$2c+a = 2(2) + (-3) = 4-3 = 1$となり、うまくいく。

$b=2, d=1$を試すと、$2d+b = 2(1) + 2 = 4 \ne 5$となり、うまくいかない。

$b=1, d=2$を試すと、$2d+b = 2(2) + 1 = 5$となり、うまくいく。

$ad+bc = (-3)(2) + (1)(2) = -6 + 2 = -4$となり、うまくいく。

したがって、与えられた式は

$(2x-3y+1)(x+2y+2)$

と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(2x-3y+1)(x+2y+2)$