次の2つの方程式を解きます。 (1) $\sqrt{2}x^2 - 3x + 2\sqrt{2} = 0$ (2) $(x-3)^2 + (x+2)^2 = (x+1)^2$

1. 問題の内容

次の2つの方程式を解きます。

(1) $\sqrt{2}x^2 - 3x + 2\sqrt{2} = 0$

(2) $(x-3)^2 + (x+2)^2 = (x+1)^2$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}x^2 - 3x + 2\sqrt{2} = 0$ を解きます。

まず、両辺を$\sqrt{2}$で割ることはせず、因数分解を試みます。

$\sqrt{2}x^2 - 2x - x + 2\sqrt{2} = 0$

$\sqrt{2}x(x - \sqrt{2}) - 2(x-\sqrt{2}x) = 0$

$\sqrt{2}x^2 - 3x + 2\sqrt{2} = 0$

二次方程式の解の公式を使うと

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = \sqrt{2}, b = -3, c = 2\sqrt{2}$ です。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(\sqrt{2})(2\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2\sqrt{2}}$

判別式が負なので、実数解は存在しません。

因数分解で解く場合：

$\sqrt{2}x^2 - 3x + 2\sqrt{2} = 0$

$(\sqrt{2}x - 2)(x - \sqrt{2}) = 0$

$\sqrt{2}x - 2 = 0$ または $x - \sqrt{2} = 0$

$\sqrt{2}x = 2$ より $x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$

したがって、$x = \sqrt{2}$ と $x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ が解です。

(2) $(x-3)^2 + (x+2)^2 = (x+1)^2$ を解きます。

$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 2x + 1$

$2x^2 - 2x + 13 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 - 4x + 12 = 0$

解の公式を使うと

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = -4, c = 12$ です。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(12)}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2}$

判別式が負なので、実数解は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $x = \sqrt{2}$

(2) 実数解なし