周囲の長さが24cmである長方形を考える。長辺の長さを $x$ cmとしたとき、長方形の面積が20cm$^2$以上32cm$^2$以下となるような $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

周囲の長さが24cmである長方形を考える。長辺の長さを $x$ cmとしたとき、長方形の面積が20cm$^2$以上32cm$^2$以下となるような $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形の短い辺の長さを $y$ cmとする。長方形の周囲の長さは24cmなので、

$2x + 2y = 24$

$x + y = 12$

$y = 12 - x$

長方形の面積は $xy$ なので、$x(12-x)$ である。

これが20cm$^2$以上32cm$^2$以下であるから、以下の不等式が成り立つ。

$20 \le x(12-x) \le 32$

この不等式を2つに分けて解く。

(1) $x(12-x) \ge 20$

$12x - x^2 \ge 20$

$x^2 - 12x + 20 \le 0$

$(x-2)(x-10) \le 0$

よって、$2 \le x \le 10$

(2) $x(12-x) \le 32$

$12x - x^2 \le 32$

$x^2 - 12x + 32 \ge 0$

$(x-4)(x-8) \ge 0$

よって、$x \le 4$ または $x \ge 8$

$x$は長辺なので、$x > 0$，$y > 0$ でなければならない。$y=12-x$ より $12-x>0$ なので、$x<12$。

また、長辺の長さは短辺の長さ以上なので、$x \ge y$ である。

つまり、$x \ge 12-x$。 $2x \ge 12$ より $x \ge 6$。

したがって、$6 \le x < 12$となる。

(1)と(2)の結果を合わせると、$2 \le x \le 10$ と ($x \le 4$ または $x \ge 8$)。

これと、$6 \le x < 12$ の条件を考慮すると、

$8 \le x \le 10$ となる。

3. 最終的な答え

$8 \le x \le 10$