与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 27$ (2) $8x^3 + 27y^3$ (3) $x^3 - 1$ (4) $27x^3 - y^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 27$

(2) $8x^3 + 27y^3$

(3) $x^3 - 1$

(4) $27x^3 - y^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、和または差の立方公式を用いて因数分解できます。

和の立方公式: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

差の立方公式: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

(1) $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$

$a = x$, $b = 3$ として和の立方公式を適用します。

$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$

$a = 2x$, $b = 3y$ として和の立方公式を適用します。

$(2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(3) $x^3 - 1 = x^3 - 1^3$

$a = x$, $b = 1$ として差の立方公式を適用します。

$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

(4) $27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3$

$a = 3x$, $b = y$ として差の立方公式を適用します。

$(3x)^3 - y^3 = (3x - y)((3x)^2 + (3x)(y) + y^2) = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(3) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$

(4) $(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$