(1) 2次方程式 $-x^2+4x+1=0$ を解く。 (2) 2次方程式 $4x^2+8x+m+1=0$ が実数解をもたないように、定数 $m$ の値の範囲を定める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $-x^2+4x+1=0$ を解く。

(2) 2次方程式 $4x^2+8x+m+1=0$ が実数解をもたないように、定数 $m$ の値の範囲を定める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $-x^2+4x+1=0$ を解く。

まず、方程式に-1を掛けて $x^2-4x-1=0$ と変形する。

次に、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ を用いる。ここで、$a=1$, $b=-4$, $c=-1$ であるから、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16+4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

よって、 $x = 2 \pm \sqrt{5}$

(2) 2次方程式 $4x^2+8x+m+1=0$ が実数解をもたないように、$m$ の値の範囲を定める。

2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D=b^2-4ac$ が $D<0$ となることである。

この方程式では、$a=4$, $b=8$, $c=m+1$ であるから、

$D = 8^2 - 4(4)(m+1) = 64 - 16(m+1) = 64 - 16m - 16 = 48 - 16m$

$D<0$ より、

$48-16m < 0$

$16m > 48$

$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 \pm \sqrt{5}$

(2) $m > 3$