与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解し、$(a \boxed{①} b)(a \boxed{②} b \boxed{③} c)$ の形にするとき、空欄 $①$, $②$, $③$ に当てはまる符号を答える問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解し、$(a \boxed{①} b)(a \boxed{②} b \boxed{③} c)$ の形にするとき、空欄 $①$, $②$, $③$ に当てはまる符号を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$a$ について整理すると

$a^2 - (2b + c)a + (b^2 + bc)$

次に、因数分解の形を $(a + xb)(a + yb + zc)$ と仮定し、展開したものが与えられた式と一致するように $x$, $y$, $z$ を求めます。

しかし、問題の形から、$(a \boxed{①} b)(a \boxed{②} b \boxed{③} c)$ の形になるとわかっているので、この形を保ちながら解いていきます。

式を展開すると、$a^2 + a(\boxed{②} b \boxed{③} c) + a(\boxed{①} b) + (\boxed{①} b)(\boxed{②} b \boxed{③} c)$となります。

元の式と比較すると、$a^2$の項は一致しているので、残りの項を比較します。

まず、$a$の項について比較すると、$\boxed{①}b + \boxed{②}b + \boxed{③}c = -(2b+c)$です。

次に、定数項について比較すると、$b^2 + bc = (\boxed{①}b)(\boxed{②}b + \boxed{③}c)$です。

ここで、$\boxed{①}$が$-$, $\boxed{②}$が$-$、$\boxed{③}$が$+$の場合を考えると、

$a - b$ と $a - b + c$ を掛け合わせると、

$(a - b)(a - b + c) = a^2 - ab + ac - ab + b^2 - bc = a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc$

となり、これは与えられた式 $a^2 - 2ab + b^2 - ac + bc$ とは符号が異なるので、正しくありません。

$\boxed{①}$が$-$, $\boxed{②}$が$-$, $\boxed{③}$が$-$の場合を考えると、

$a - b$ と $a - b - c$ を掛け合わせると、

$(a - b)(a - b - c) = a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc = a^2 - 2ab + b^2 - ac + bc$

となり、これは与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ と一致します。

したがって、

$a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab = (a-b)(a-b-c)$となります。

3. 最終的な答え

①: -

②: -

③: -