問題は、与えられた和を$\Sigma$記号を用いて表し、その和を計算するものです。 (1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + 9 \cdot 10$ (2) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + 8 \cdot 9 \cdot 10$

1. 問題の内容

問題は、与えられた和を$\Sigma$記号を用いて表し、その和を計算するものです。

(1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + 9 \cdot 10$

(2) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + 8 \cdot 9 \cdot 10$

2. 解き方の手順

(1)

$\Sigma$記号で表すと、

$\sum_{k=1}^{9} k(k+1)$

展開すると、

$\sum_{k=1}^{9} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{9} k^2 + \sum_{k=1}^{9} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{9} k = \frac{9(9+1)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$

$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2 \cdot 9+1)}{6} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = \frac{1710}{6} = 285$

したがって、

$\sum_{k=1}^{9} k(k+1) = 285 + 45 = 330$

(2)

$\Sigma$記号で表すと、

$\sum_{k=1}^{8} k(k+1)(k+2)$

展開すると、

$\sum_{k=1}^{8} (k^2 + k)(k+2) = \sum_{k=1}^{8} (k^3 + 2k^2 + k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{8} (k^3 + 3k^2 + 2k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{8} k^3 = (\frac{8(8+1)}{2})^2 = (\frac{8 \cdot 9}{2})^2 = (36)^2 = 1296$

$\sum_{k=1}^{8} 3k^2 = 3 \sum_{k=1}^{8} k^2 = 3 \cdot \frac{8(8+1)(2 \cdot 8+1)}{6} = 3 \cdot \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 3 \cdot \frac{1224}{6} = 3 \cdot 204 = 612$

$\sum_{k=1}^{8} 2k = 2 \sum_{k=1}^{8} k = 2 \cdot \frac{8(8+1)}{2} = 2 \cdot \frac{8 \cdot 9}{2} = 2 \cdot 36 = 72$

したがって、

$\sum_{k=1}^{8} k(k+1)(k+2) = 1296 + 612 + 72 = 1980$

3. 最終的な答え

(1) 330

(2) 1980