与えられた不等式が正しいことを確認する問題です。不等式は以下の通りです。 $\frac{a^2+b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$

1. 問題の内容

与えられた不等式が正しいことを確認する問題です。不等式は以下の通りです。

$\frac{a^2+b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を展開します。

$(\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$

次に、不等式の両辺に4を掛けます。

$4 \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \ge 4 \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$

$2(a^2+b^2) \ge a^2 + 2ab + b^2$

$2a^2 + 2b^2 \ge a^2 + 2ab + b^2$

次に、不等式の右辺を左辺に移項します。

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

左辺を因数分解します。

$(a-b)^2 \ge 0$

実数$a, b$に対して$(a-b)^2$は常に0以上であるため、上記の不等式は常に成立します。したがって、与えられた不等式は正しいです。

3. 最終的な答え

与えられた不等式 $\frac{a^2+b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$ は常に成立する。