パスカルの三角形を利用して、$(a+b)^6$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

パスカルの三角形を利用して、$(a+b)^6$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

まず、パスカルの三角形の6乗の展開に対応する行を求めます。パスカルの三角形の行は、0乗から始まるので、6乗に対応する行は7行目になります。その行の係数は、左から順に1, 6, 15, 20, 15, 6, 1です。

次に、この係数を使って$(a+b)^6$を展開します。展開の各項は、$a$のべきと$b$のべきの積であり、$a$のべきは6から0まで減少し、$b$のべきは0から6まで増加します。

展開式は以下のようになります。

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6 b^0 + 6 \cdot a^5 b^1 + 15 \cdot a^4 b^2 + 20 \cdot a^3 b^3 + 15 \cdot a^2 b^4 + 6 \cdot a^1 b^5 + 1 \cdot a^0 b^6$

これを簡略化すると、

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

3. 最終的な答え

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$