与えられた4つの方程式を解きます。これらの式はすべて対数関数を含んでいます。 (1) $\log_2(x+1) = 5$ (2) $\log_2((x+2)(x-5)) = 3$ (3) $\log_3(2x+1) + \log_3(x-3) = 2$ (4) $\log_4(2x+3) + \log_4(4x+1) = 2\log_4 5$

1. 問題の内容

与えられた4つの方程式を解きます。これらの式はすべて対数関数を含んでいます。

(1) $\log_2(x+1) = 5$

(2) $\log_2((x+2)(x-5)) = 3$

(3) $\log_3(2x+1) + \log_3(x-3) = 2$

(4) $\log_4(2x+3) + \log_4(4x+1) = 2\log_4 5$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2(x+1) = 5$ の解き方

対数の定義より、$x+1 = 2^5$

$x+1 = 32$

$x = 31$

(2) $\log_2((x+2)(x-5)) = 3$ の解き方

対数の定義より、$(x+2)(x-5) = 2^3$

$(x+2)(x-5) = 8$

$x^2 - 3x - 10 = 8$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

$(x-6)(x+3) = 0$

$x = 6, -3$

ここで、真数条件を確認する必要があります。

$x+2 > 0$ かつ $x-5 > 0$ でなければなりません。つまり、$x > -2$ かつ $x > 5$ が必要です。したがって、$x > 5$ 。

$x=6$ は条件を満たしますが、$x=-3$ は条件を満たしません。

よって、$x = 6$

(3) $\log_3(2x+1) + \log_3(x-3) = 2$ の解き方

対数の性質より、$\log_3((2x+1)(x-3)) = 2$

対数の定義より、$(2x+1)(x-3) = 3^2$

$2x^2 - 5x - 3 = 9$

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x+3)(x-4) = 0$

$x = 4, -\frac{3}{2}$

ここで、真数条件を確認する必要があります。

$2x+1 > 0$ かつ $x-3 > 0$ でなければなりません。つまり、$x > -\frac{1}{2}$ かつ $x > 3$ が必要です。したがって、$x > 3$ 。

$x=4$ は条件を満たしますが、$x = -\frac{3}{2}$ は条件を満たしません。

よって、$x = 4$

(4) $\log_4(2x+3) + \log_4(4x+1) = 2\log_4 5$ の解き方

対数の性質より、$\log_4((2x+3)(4x+1)) = \log_4 5^2$

$\log_4((2x+3)(4x+1)) = \log_4 25$

よって、$(2x+3)(4x+1) = 25$

$8x^2 + 14x + 3 = 25$

$8x^2 + 14x - 22 = 0$

$4x^2 + 7x - 11 = 0$

$(4x+11)(x-1) = 0$

$x = 1, -\frac{11}{4}$

ここで、真数条件を確認する必要があります。

$2x+3 > 0$ かつ $4x+1 > 0$ でなければなりません。つまり、$x > -\frac{3}{2}$ かつ $x > -\frac{1}{4}$ が必要です。したがって、$x > -\frac{1}{4}$ 。

$x=1$ は条件を満たしますが、$x = -\frac{11}{4} = -2.75$ は条件を満たしません。

よって、$x = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 31$

(2) $x = 6$

(3) $x = 4$

(4) $x = 1$