$x = \frac{1}{\sqrt{3}+1}$, $y = \frac{1}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求める。 (1) $x+y$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^4+y^4$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{3}+1}$, $y = \frac{1}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求める。

(1) $x+y$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^4+y^4$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を求める。

$x+y = \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-1}$

通分して計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} + \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}-1 + \sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) $x^2+y^2$ を求める。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

まず、$xy$ を求める。

$xy = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$

よって、

$x^2+y^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 3 - 1 = 2$

(3) $x^4+y^4$ を求める。

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$

$x^2y^2 = (xy)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

よって、

$x^4+y^4 = (2)^2 - 2(\frac{1}{4}) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{3}$

(2) $x^2+y^2 = 2$

(3) $x^4+y^4 = \frac{7}{2}$