ド・モアブルの定理とその証明を求める問題です。

1. 問題の内容

ド・モアブルの定理とその証明を求める問題です。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理は、複素数の累乗に関する重要な定理です。

この定理は数学的帰納法を用いて証明できます。

まず、ド・モアブルの定理を述べます。

任意の整数 $n$ に対して、

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$

が成立します。ここで、$i$ は虚数単位です。

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$ のとき

$(\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos \theta + i \sin \theta = \cos(1\cdot \theta) + i \sin(1\cdot \theta)$

となり、$n=1$ のとき定理は成立します。

(2) $n=k$ のとき定理が成立すると仮定する。

すなわち、

$(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$

が成立すると仮定します。

(3) $n=k+1$ のときを考える。

$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k (\cos \theta + i \sin \theta)$

帰納法の仮定より、

$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) (\cos \theta + i \sin \theta)$

右辺を展開すると、

$(\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) (\cos \theta + i \sin \theta) = \cos(k\theta)\cos\theta - \sin(k\theta)\sin\theta + i(\sin(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\sin\theta)$

三角関数の加法定理より、

$\cos(k\theta)\cos\theta - \sin(k\theta)\sin\theta = \cos((k+1)\theta)$

$\sin(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\sin\theta = \sin((k+1)\theta)$

したがって、

$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta)$

となり、$n=k+1$ のときも定理は成立します。

(4) $n$ が負の整数の場合を考えます。 $n = -m$ （$m$ は正の整数）とすると、

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = (\cos \theta + i \sin \theta)^{-m} = \frac{1}{(\cos \theta + i \sin \theta)^m}$

$m$ は正の整数なので、ド・モアブルの定理より $(\cos \theta + i \sin \theta)^m = \cos(m\theta) + i \sin(m\theta)$です。

したがって、

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \frac{1}{\cos(m\theta) + i \sin(m\theta)} = \frac{\cos(m\theta) - i \sin(m\theta)}{(\cos(m\theta) + i \sin(m\theta))(\cos(m\theta) - i \sin(m\theta))} = \frac{\cos(m\theta) - i \sin(m\theta)}{\cos^2(m\theta) + \sin^2(m\theta)} = \cos(m\theta) - i \sin(m\theta)$

$\cos(-m\theta) = \cos(m\theta)$ かつ $\sin(-m\theta) = -\sin(m\theta)$ であるから

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta) = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$.

以上より、数学的帰納法により、任意の整数 $n$ に対してド・モアブルの定理が成立することが証明されました。

3. 最終的な答え

ド・モアブルの定理:

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ （$n$ は整数）