ド・モアブルの定理を証明してください。

1. 問題の内容

ド・モアブルの定理を証明してください。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理とは、$n$を整数とするとき、次の式が成り立つというものです。

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$

この定理を数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n = 1$のとき：

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^1 = \cos \theta + i \sin \theta$$

$$\cos(1\cdot\theta) + i \sin(1\cdot\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$$

したがって、$n = 1$のとき定理は成り立ちます。

(2) $n = k$のとき、定理が成り立つと仮定します。つまり、

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$$

が成り立つと仮定します。

(3) $n = k+1$のとき、定理が成り立つことを示します。

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k (\cos \theta + i \sin \theta)$$

帰納法の仮定より、

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = [\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)] (\cos \theta + i \sin \theta)$$

これを展開すると、

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = \cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta + i[\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta]$$

三角関数の加法定理より、

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta)$$

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta)$$

したがって、$n = k+1$のときも定理は成り立ちます。

(1), (2), (3)より、数学的帰納法によって、すべての整数$n$に対してド・モアブルの定理が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

ド・モアブルの定理： $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ (証明終わり)