与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 2$ を因数分解し、$(x+\boxed{①})(x+y-\boxed{②})$ の形になるように、①と②にあてはまる数を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 2$ を因数分解し、$(x+\boxed{①})(x+y-\boxed{②})$ の形になるように、①と②にあてはまる数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理する。

$x^2 + xy + x + 2y - 2 = x^2 + (y+1)x + (2y-2)$

次に、因数分解後の形を $(x+a)(x+y-b)$ とおく。展開すると

$(x+a)(x+y-b) = x^2 + xy - bx + ax + ay - ab = x^2 + (y-b+a)x + (ay-ab)$

与えられた式と比較して

$x^2 + (y+1)x + (2y-2) = x^2 + (y-b+a)x + (ay-ab)$

$x$の係数と定数項を比較すると、

$y+1 = y-b+a$

$2y-2 = ay-ab$

$y+1 = y-b+a$ より、$1 = -b+a$ なので、$a = b+1$

$2y-2 = ay-ab$ より、$2y-2 = (b+1)y - (b+1)b$ なので、

$2y-2 = (b+1)y - (b^2+b)$

係数を比較すると、

$2 = b+1$ より、$b = 1$

$-2 = -b^2 - b$ より、$2 = b^2+b$

$b = 1$ を代入すると、$2 = 1^2+1 = 2$ で成り立つ。

$a = b+1 = 1+1 = 2$

したがって、$(x+2)(x+y-1)$となり、①は2、②は1である。

3. 最終的な答え

①：2

②：1