与えられた方程式は、$p^2x^2 + 2p(5p+3)x + (5p+3)^2 = x + 4$ である。この式を整理し、解を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式は、$p^2x^2 + 2p(5p+3)x + (5p+3)^2 = x + 4$ である。この式を整理し、解を求める。

2. 解き方の手順

まず、左辺が完全平方の形になっていることに気づく。具体的には、$(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$ の形である。

左辺は、$(px + (5p+3))^2$ と変形できる。

したがって、方程式は次のようになる。

$(px + (5p+3))^2 = x + 4$

次に、両辺を展開する。

$p^2x^2 + 2p(5p+3)x + (5p+3)^2 = x + 4$

$p^2x^2 + (10p^2 + 6p)x + 25p^2 + 30p + 9 = x + 4$

次に、右辺の項を左辺に移項して、整理する。

$p^2x^2 + (10p^2 + 6p)x - x + 25p^2 + 30p + 9 - 4 = 0$

$p^2x^2 + (10p^2 + 6p - 1)x + 25p^2 + 30p + 5 = 0$

これは $x$ についての二次方程式である。解の公式を使って解くこともできるが、式が複雑になる。

ここで、$(px + (5p+3))^2 = x + 4$ から進める。

$px + 5p + 3 = \pm \sqrt{x + 4}$

$px = -5p - 3 \pm \sqrt{x + 4}$

$x = \frac{-5p - 3 \pm \sqrt{x + 4}}{p}$

この形では、$x$ について解けないので、$(px + (5p+3))^2 = x + 4$ を $x$ の二次方程式の形にする。

$p^2x^2 + (10p^2 + 6p - 1)x + (25p^2 + 30p + 5) = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使うと、

$x = \frac{-(10p^2 + 6p - 1) \pm \sqrt{(10p^2 + 6p - 1)^2 - 4p^2(25p^2 + 30p + 5)}}{2p^2}$

$x = \frac{-(10p^2 + 6p - 1) \pm \sqrt{100p^4 + 36p^2 + 1 + 120p^3 - 20p^2 - 12p - 100p^4 - 120p^3 - 20p^2}}{2p^2}$

$x = \frac{-(10p^2 + 6p - 1) \pm \sqrt{-4p^2 - 12p + 1}}{2p^2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{-(10p^2 + 6p - 1) \pm \sqrt{-4p^2 - 12p + 1}}{2p^2}$