$a$ は正の定数である。2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ ($0 \le x \le a$) の最大値とそのときの $x$ の値を、以下の各場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $0 < a < 4$ (2) $a = 4$ (3) $4 < a$

1. 問題の内容

$a$ は正の定数である。2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ ($0 \le x \le a$) の最大値とそのときの $x$ の値を、以下の各場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $0 < a < 4$

(2) $a = 4$

(3) $4 < a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 8x + 9 = 2(x^2 - 4x) + 9 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9 = 2(x - 2)^2 - 8 + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$

この2次関数の軸は $x = 2$ であり、下に凸の放物線である。

(1) $0 < a < 4$ の場合、定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x = 2$ が含まれる。したがって、頂点 $x = 2$ で最小値 $1$ をとる。最大値は定義域の端点である $x = 0$ または $x = a$ でとる。

$x = 0$ のとき $y = 2(0)^2 - 8(0) + 9 = 9$

$x = a$ のとき $y = 2a^2 - 8a + 9$

$x=0$と$x=a$での$y$の値を比較する。

$2a^2 - 8a + 9 < 9$

$2a^2 - 8a < 0$

$2a(a-4) < 0$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$ の範囲では、$a(a-4) < 0$ が成立する。

したがって、$x = 0$ で最大値 $9$ をとる。

(2) $a = 4$ の場合、定義域 $0 \le x \le 4$ に軸 $x = 2$ が含まれる。最大値は定義域の端点である $x = 0$ または $x = 4$ でとる。

$x = 0$ のとき $y = 2(0)^2 - 8(0) + 9 = 9$

$x = 4$ のとき $y = 2(4)^2 - 8(4) + 9 = 32 - 32 + 9 = 9$

したがって、$x = 0$ と $x = 4$ で最大値 $9$ をとる。

(3) $4 < a$ の場合、定義域 $0 \le x \le a$ に軸 $x = 2$ が含まれる。最大値は定義域の端点である $x = 0$ または $x = a$ でとる。

$x = 0$ のとき $y = 2(0)^2 - 8(0) + 9 = 9$

$x = a$ のとき $y = 2a^2 - 8a + 9$

$x=0$と$x=a$での$y$の値を比較する。

$2a^2 - 8a + 9 > 9$

$2a^2 - 8a > 0$

$2a(a-4) > 0$

$a(a-4) > 0$

$4 < a$ の範囲では、$a(a-4) > 0$ が成立する。

したがって、$x = a$ で最大値 $2a^2 - 8a + 9$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ のとき最大値 $9$

(2) $x = 0, 4$ のとき最大値 $9$

(3) $x = a$ のとき最大値 $2a^2 - 8a + 9$