次の式を展開せよ。 $(2x+y)^2(2x-y)^2$

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

$(2x+y)^2(2x-y)^2$

2. 解き方の手順

まず、$A = 2x$ とおくと、与式は $(A+y)^2(A-y)^2$ となります。

次に、$(A+y)(A-y) = A^2 - y^2$ の公式を利用して、

$(A+y)^2(A-y)^2 = [(A+y)(A-y)]^2 = (A^2-y^2)^2$

となります。

$(A^2-y^2)^2$ を展開すると、

$(A^2-y^2)^2 = (A^2)^2 - 2A^2y^2 + (y^2)^2 = A^4 - 2A^2y^2 + y^4$

ここで、$A=2x$ を代入します。

$A^4 - 2A^2y^2 + y^4 = (2x)^4 - 2(2x)^2y^2 + y^4 = 16x^4 - 2(4x^2)y^2 + y^4 = 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$

したがって、

$(2x+y)^2(2x-y)^2 = 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$

3. 最終的な答え

$16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$