次の式を展開せよ： $(a+5)^2 (a-5)^2$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の式を展開せよ： $(a+5)^2 (a-5)^2$

2. 解き方の手順

まず、$(a+5)^2$ と $(a-5)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$

$(a-5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$

したがって、

$(a+5)^2 (a-5)^2 = (a^2 + 10a + 25)(a^2 - 10a + 25)$

ここで、$A = a^2 + 25$ と置くと、

$(a^2 + 10a + 25)(a^2 - 10a + 25) = (A + 10a)(A - 10a)$

これは和と差の積の形なので、$A^2 - (10a)^2$ となります。

$A^2 - (10a)^2 = (a^2 + 25)^2 - 100a^2$

$(a^2 + 25)^2$ を展開すると、

$(a^2 + 25)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 + 50a^2 + 625$

したがって、

$(a^2 + 25)^2 - 100a^2 = a^4 + 50a^2 + 625 - 100a^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

または、

$(a+5)(a-5) = a^2 - 25$　を利用して、

$(a+5)^2(a-5)^2 = \{(a+5)(a-5)\}^2 = (a^2-25)^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

3. 最終的な答え

$a^4 - 50a^2 + 625$