2次方程式 $2x^2 - 2kx + k^2 - 3k - 8 = 0$ が虚数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 2kx + k^2 - 3k - 8 = 0$ が虚数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式 $D$ が負であることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 3k - 8)$

です。これが負となる条件を求めます。

$D = 4k^2 - 8(k^2 - 3k - 8) < 0$

$4k^2 - 8k^2 + 24k + 64 < 0$

$-4k^2 + 24k + 64 < 0$

$4k^2 - 24k - 64 > 0$

$k^2 - 6k - 16 > 0$

この2次不等式を解きます。まず、$k^2 - 6k - 16 = 0$ となる $k$ を求めます。

$(k - 8)(k + 2) = 0$

$k = 8, -2$

したがって、$k^2 - 6k - 16 > 0$ となるのは、$k < -2$ または $k > 8$ のときです。

3. 最終的な答え

$k < -2$ または $k > 8$