多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 - 8x - 7$ が $x+1$ で割り切れ、$x-2$ で割ったときの余りが $-3$ となるように、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 - 8x - 7$ が $x+1$ で割り切れ、$x-2$ で割ったときの余りが $-3$ となるように、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x+1$ で割り切れることから、剰余の定理より、$P(-1) = 0$ となる。

$P(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 - 8(-1) - 7 = -a + b + 8 - 7 = -a + b + 1 = 0$

よって、

$-a + b + 1 = 0$

$b = a - 1$ ...(1)

(2) $x-2$ で割ったときの余りが $-3$ であることから、剰余の定理より、$P(2) = -3$ となる。

$P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 - 8(2) - 7 = 8a + 4b - 16 - 7 = 8a + 4b - 23 = -3$

よって、

$8a + 4b - 23 = -3$

$8a + 4b = 20$

$2a + b = 5$ ...(2)

(3) (1) を (2) に代入する。

$2a + (a - 1) = 5$

$3a - 1 = 5$

$3a = 6$

$a = 2$

(4) $a = 2$ を (1) に代入する。

$b = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 1$