$a > 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$

この関数の軸は $x = 1$ で、頂点は $(1, -1)$ です。定義域は $0 \le x \le a$ です。$a$の値によって、最大値と最小値が変化します。

(i) $0 < a < 1$ のとき:

定義域は軸の左側にあり、関数は単調減少です。

最大値は $x = 0$ のときで、$y = 0^2 - 2(0) = 0$

最小値は $x = a$ のときで、$y = a^2 - 2a$

(ii) $a = 1$ のとき:

最大値は $x = 0$ のときで、$y = 0^2 - 2(0) = 0$

最小値は $x = 1$ のときで、$y = 1^2 - 2(1) = -1$

(iii) $1 < a < 2$ のとき:

頂点が定義域に含まれるので、最小値は $x = 1$ のときで、$y = -1$ です。

最大値は $x = 0$ のときで、$y = 0$ または $x = a$ のときで、$y = a^2 - 2a$ のどちらか大きい方になります。$a^2 - 2a > 0$ となるのは $a > 2$ のときなので、この場合は$x = 0$のときの$y = 0$が最大値です。

(iv) $a = 2$ のとき:

$y = a^2 - 2a = 2^2 - 2(2) = 0$ です。

このとき最大値は$0$、最小値は$-1$です。

(v) $a > 2$ のとき:

定義域は軸を挟む形になり、最小値は $x = 1$ のときで、$y = -1$ です。

最大値は $x = a$ のときで、$y = a^2 - 2a$ となります。

まとめると、以下のようになります。

* $0 < a < 1$ のとき：最大値 $0$, 最小値 $a^2 - 2a$

* $a \ge 1$ のとき：最大値 $a^2 - 2a$, 最小値 $-1$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき：

最大値 $0$、最小値 $a^2 - 2a$

$a \ge 1$ のとき：

最大値 $a^2 - 2a$、最小値 $-1$