$\omega$ を1の3乗根のうち虚数であるものの一つとするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\omega^4 + \omega^2 + 1$ (2) $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2}$

1. 問題の内容

$\omega$ を1の3乗根のうち虚数であるものの一つとするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\omega^4 + \omega^2 + 1$

(2) $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2}$

2. 解き方の手順

まず、$\omega$ が1の3乗根のうち虚数であることから、$\omega^3 = 1$ および $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

(1) $\omega^4 + \omega^2 + 1$ の計算：

$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$

したがって、

$\omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より

$\omega^4 + \omega^2 + 1 = 0$

(2) $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2}$ の計算：

$\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega + 1}{\omega^2}$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega + 1 = -\omega^2$

したがって、

$\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} = \frac{-\omega^2}{\omega^2} = -1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) -1