二項定理を利用して、$(x+2)^5$ と $(x-y)^6$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

二項定理を利用して、$(x+2)^5$ と $(x-y)^6$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理とは、$(a+b)^n$ を展開するための公式で、次のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数と呼ばれ、次のように計算されます。

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

(1) $(x+2)^5$ の展開

$a = x$, $b = 2$, $n = 5$ を二項定理の公式に代入します。

$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} 2^k$

各項を計算します。

$\binom{5}{0} x^5 2^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5$

$\binom{5}{1} x^4 2^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 2 = 10x^4$

$\binom{5}{2} x^3 2^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3$

$\binom{5}{3} x^2 2^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 8 = 80x^2$

$\binom{5}{4} x^1 2^4 = 5 \cdot x \cdot 16 = 80x$

$\binom{5}{5} x^0 2^5 = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32$

したがって、

$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

(2) $(x-y)^6$ の展開

$a = x$, $b = -y$, $n = 6$ を二項定理の公式に代入します。

$(x-y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-y)^k$

各項を計算します。

$\binom{6}{0} x^6 (-y)^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6$

$\binom{6}{1} x^5 (-y)^1 = 6 \cdot x^5 \cdot (-y) = -6x^5y$

$\binom{6}{2} x^4 (-y)^2 = 15 \cdot x^4 \cdot y^2 = 15x^4y^2$

$\binom{6}{3} x^3 (-y)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-y^3) = -20x^3y^3$

$\binom{6}{4} x^2 (-y)^4 = 15 \cdot x^2 \cdot y^4 = 15x^2y^4$

$\binom{6}{5} x^1 (-y)^5 = 6 \cdot x \cdot (-y^5) = -6xy^5$

$\binom{6}{6} x^0 (-y)^6 = 1 \cdot 1 \cdot y^6 = y^6$

したがって、

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$

3. 最終的な答え

$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$